Algèbre linéaire Exemples

$\frac{2}{x} - \frac{3}{y} = 2$ , $- \frac{10}{x} + \frac{9}{y} = - 8$

Étape 1

Écrivez le système d’équations sous forme de matrice.

$[\begin{array}{c} \frac{2}{1} & - \frac{3}{1} & 2 \\ - \frac{10}{1} & \frac{9}{1} & - 8 \end{array}]$

Étape 2

Déterminez la forme d’échelon en ligne réduite.

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Étape 2.1

Divisez $2$ par $1$ .

$[\begin{array}{c} 2 & - \frac{3}{1} & 2 \\ - \frac{10}{1} & \frac{9}{1} & - 8 \end{array}]$

Étape 2.2

Divisez $3$ par $1$ .

$[\begin{array}{c} 2 & - 1 \cdot 3 & 2 \\ - \frac{10}{1} & \frac{9}{1} & - 8 \end{array}]$

Étape 2.3

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$[\begin{array}{c} 2 & - 3 & 2 \\ - \frac{10}{1} & \frac{9}{1} & - 8 \end{array}]$

Étape 2.4

Divisez $10$ par $1$ .

$[\begin{array}{c} 2 & - 3 & 2 \\ - 1 \cdot 10 & \frac{9}{1} & - 8 \end{array}]$

Étape 2.5

Multipliez $- 1$ par $10$ .

$[\begin{array}{c} 2 & - 3 & 2 \\ - 10 & \frac{9}{1} & - 8 \end{array}]$

Étape 2.6

Divisez $9$ par $1$ .

$[\begin{array}{c} 2 & - 3 & 2 \\ - 10 & 9 & - 8 \end{array}]$

Étape 2.7

Multipliez chaque élément de $R_{1}$ par $\frac{1}{2}$ pour faire de l’entrée sur $1, 1$ un $1$ .

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Étape 2.7.1

Multipliez chaque élément de $R_{1}$ par $\frac{1}{2}$ pour faire de l’entrée sur $1, 1$ un $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{2}{2} & \frac{- 3}{2} & \frac{2}{2} \\ - 10 & 9 & - 8 \end{array}]$

Étape 2.7.2

Simplifiez $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{3}{2} & 1 \\ - 10 & 9 & - 8 \end{array}]$

Étape 2.8

Réalisez l’opération de ligne $R_{2} = R_{2} + 10 R_{1}$ pour faire de l’entrée sur $2, 1$ un $0$ .

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Étape 2.8.1

Réalisez l’opération de ligne $R_{2} = R_{2} + 10 R_{1}$ pour faire de l’entrée sur $2, 1$ un $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{3}{2} & 1 \\ - 10 + 10 \cdot 1 & 9 + 10 (- \frac{3}{2}) & - 8 + 10 \cdot 1 \end{array}]$

Étape 2.8.2

Simplifiez $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{3}{2} & 1 \\ 0 & - 6 & 2 \end{array}]$

Étape 2.9

Multipliez chaque élément de $R_{2}$ par $- \frac{1}{6}$ pour faire de l’entrée sur $2, 2$ un $1$ .

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Étape 2.9.1

Multipliez chaque élément de $R_{2}$ par $- \frac{1}{6}$ pour faire de l’entrée sur $2, 2$ un $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{3}{2} & 1 \\ - \frac{1}{6} \cdot 0 & - \frac{1}{6} \cdot - 6 & - \frac{1}{6} \cdot 2 \end{array}]$

Étape 2.9.2

Simplifiez $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{3}{2} & 1 \\ 0 & 1 & - \frac{1}{3} \end{array}]$

Étape 2.10

Réalisez l’opération de ligne $R_{1} = R_{1} + \frac{3}{2} R_{2}$ pour faire de l’entrée sur $1, 2$ un $0$ .

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Étape 2.10.1

Réalisez l’opération de ligne $R_{1} = R_{1} + \frac{3}{2} R_{2}$ pour faire de l’entrée sur $1, 2$ un $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 + \frac{3}{2} \cdot 0 & - \frac{3}{2} + \frac{3}{2} \cdot 1 & 1 + \frac{3}{2} (- \frac{1}{3}) \\ 0 & 1 & - \frac{1}{3} \end{array}]$

Étape 2.10.2

Simplifiez $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{1}{2} \\ 0 & 1 & - \frac{1}{3} \end{array}]$

Étape 3

Utilisez la matrice de résultat pour déclarer les solutions finales au système d’équations.

$x = \frac{1}{2}$

$y = - \frac{1}{3}$

Étape 4

La solution est l’ensemble des paires ordonnées qui rend le système vrai.

$(\frac{1}{2}, - \frac{1}{3})$

Étape 5

Décomposez un vecteur solution en réorganisant chaque équation représentée dans la matrice augmentée en ligne réduite en résolvant pour la variable dépendante sur chaque ligne pour obtenir l’égalité vectorielle.

$X = [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} \frac{1}{2} \\ - \frac{1}{3} \end{array}]$